FRACTALES

                                 

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero. Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación. Los fractales son, por lo tanto, elementos calificados como sami geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) que disponen de una estructura esencial que se reitera a distintas escalas. La geometría clásica no es lo suficientemente amplia como para abarcar los conceptos necesarios para medir las diferentes formas fractales.

·         Fractal de Mandelbrot: Donde c es un parámetro. El conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto de todos los puntos c, para cada punto c del plano complejo habría que considerar la sucesión correspondiente y calcular si la misma diverge o no. Supongamos que hacemos esto para cada punto del plano complejo y que decidimos pintar de negro todos los puntos que pertenecen al conjunto. Puede demostrarse que el conjunto de Mandelbrot es compacto (es decir, que para pintarlo no necesitaríamos una cantidad infinita de pintura) y conexo (podríamos pintarlo sin necesidad levantar la brocha del plano en ningún momento).

·         Triangulo de Sierpinski: El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración n=0) de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias auto similares de él mismo. Decimos que es  auto similar.  

·         El atractor de Lorentz: Muy interesado por el problema de la convección en la atmósfera terrestre, simplifica drásticamente las ecuaciones NavierStokes de mecánica de fluidos, famosas por su complejidad. Los físicos suelen usar el modelo atmosférico de Lorentz como un modelo de juguete: aunque no tiene mucho que ver con la realidad por ser demasiado simplificado, Lorentz se dio cuenta pronto de que era muy interesante. Si consideramos dos atmósferas prácticamente idénticas (es decir, dos puntos extremadamente próximos en el modelo de Lorenz), veremos rápidamente como sus respectivas evoluciones se separan de manera significativa convirtiéndose en atmósferas completamente diferentes. Lorenz observó la dependencia sensible de las condiciones iníciales en su modelo: el caos. Pero lo que es muy interesante es que, partiendo de un gran número de atmósferas virtuales, incluso si siguen trayectorias que parezcan un poco alocadas e imprevisibles, vemos como al incidir con un objeto fijo todas ellas se acumulan sobre una forma parecida a la de una mariposa: un extraño atractor.