El rectángulo áureo tiene una propiedad muy
interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos
áureos. El proceso es iterativo y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un
cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo
áureo. Este proceso se ilustra en la animación que aparece a continuación.
Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los
griegos lo veían como una belleza belleza y lo utilizaron asiduamente en su
arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más
agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados,
inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de
un rectángulo áureo: las hojas de papel tamaño carta miden 11 x 8 pulgadas, por
ejemplo; esto nos da la proporción 1.37 que se parece a la razón aurea. Sólo
por curiosidad, invitamos al lector a que mida y obtenga las proporciones de
las ventanas de su casa, de su cuadro preferido, del mueble que más le agrada,
muy probablemente serán rectángulos áureos.
Los números de Fibonacci y la proporción áurea han sido
motivo de todo tipo de creencias sobre su supuesta presencia en distintas
manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele
afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares tales como el
número de pétalos de las flores y en las hojas de las plantas, en los
caparazones de moluscos, en la forma de ciertas galaxias, en obras de arte e
inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito. Veamos a continuación qué
hay de cierto y qué hay de mentira en tales afirmaciones.
Gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas
no "explican" lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos
matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la
naturaleza. Creo que es seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la
proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera
directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos
un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que
hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos
patrones emergen.
La "espiral de oro" es una curva fascinante. Pero
es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas o espirales,
conocidas colectiva mente como espirales, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran
en la naturaleza, como la espiral de Arquimides.
No es difícil encontrar que una de estas curvas se ajusta a
un patrón particular en la naturaleza, incluso si ese patrón está sólo en el
ojo del espectador. Sin embargo, el pequeño y sucio secreto de todo esto es que
cuando una forma parece encajar, rara vez ese ajuste es exacto. Los ejemplos de
la naturaleza que se encuentran en los libros suelen tener variaciones
considerables del "ideal áureo". A veces, las curvas que dicen
coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en realidad, por alguna otra
espiral. El hecho de que una curva "encaja" con datos físicos no da
ninguna pista acerca de los procesos físicos subyacentes que producen dichas
curvas en la naturaleza. Tenemos que buscar más para encontrar esos procesos.
El caparazón del nautilus
Comúnmente vista, de que la caparazón del Nautilus pompilius se ajusta a la espiral de oro. La foto muestra un corte donde se observan las cámaras interiores. Para compararlas se ve una espiral dorada a la izquierda. Si se superponen ambas, no coincidirían nunca, sin importar cómo se las alinee o escale. Está construido con segmentos de arco circular dentro de cada cuadrado. Esta curva tiene discontinuidades en su curvatura en cada cruce de un cuadrado al siguiente. La verdadera espiral de Fibonacci cambia de curvatura suavemente, aunque la diferencia no sería visible para el ojo a esta escala. Este diagrama muestra cómo subdividir el rectángulo áureo. Si se dibuja un cuadrado dentro del rectángulo, el área rectangular que queda es un nuevo rectángulo aúreo más pequeño. De nuevo, se puede dibujar otro cuadrado dentro de éste, y seguir así. Se unen los puntos con una curva, como se muestra para conseguir algo que, por lo menos, parece superficialmente la espiral de oro.
Hay una cosa que los antiguos griegos, los artistas del
Renacimiento, un astrónomo del siglo 17 y los arquitectos del siglo 21 tienen
en común, todos ellos utilizan la proporción áurea , conocida como la razón dorada, proporción
divina, o número áureo. Precisamente, este es el número 1.61803399,
representado por la letra griega Phi, y considerado verdaderamente único por
sus propiedades matemáticas, su pre valencia en toda la naturaleza, y su
capacidad para lograr una composición estética perfecta.
Algunas de las mentes de los matemáticos más brillantes de
todas las edades, desde Pitágoras y Euclides en la antigua Grecia, a través del
matemático italiano Leonardo de Pisa en la época medieval y el astrónomo
renacentista Johannes Kepler, y hoy en día figuras científicas como el físico
de Oxford, Roger Penrose, han pasado horas estudiando sobre esta simple
relación y sus propiedades.
Pero la fascinación por la razón dorada no se limita sólo a
los matemáticos. Los biólogos, artistas, músicos, historiadores,
arquitectos, psicólogos, e incluso místicos han reflexionado y debatido sobre
la base de su ubicuidad y apelación. De hecho, es probablemente justo
decir que inspiró a pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número
en la historia de las matemáticas.
El Número Áureo ha fascinado a los intelectuales
occidentales de diversos intereses durante al menos 2.400 años. Se cree
que los monumentos más antiguos conocidos se han construido de acuerdo con
este fascinante número, como las estatuas del Partenón en Grecia, que quedan de entre el 490 y 430 a. C. Sin embargo,
hay muchos que han argumentado que se remonta a mucho más allá de esa fecha y
que los egipcios estaban bien en las propiedades de este numero único.
Según algunos historiadores, los egipcios creían que la
Proporción Áurea era sagrada. Por lo tanto, era muy importante en su
religión. La utilizaron en la construcción de templos y lugares para los
muertos, además, los egipcios encontraron que era agradable a la vista. La
utilizaban en su sistema de escritura y en la disposición de sus
templos. Los egipcios eran conscientes de que la estaban utilizando, pero
ellos la llamaron "Razón sagrada".
La primera definición grabada de Razón aagrada se presenta a
la época en que el matemático griego Euclides (325 - 265 a. C), describió lo
que llamó la "extrema y media razón". Sin embargo, las
propiedades únicas de la relación se popularizaron en el siglo 15, cuando la
estética era un componente vital del arte del Renacimiento y la geometría
servía tanto a los efectos prácticos como a los simbólicos. Como escribió
el famoso matemático, astrónomo y astrólogo, Johannes Kepler (1571 - 1630):
“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema
de Pitágoras, y el otro la división de una línea en relación extrema y
media; el primero se puede comparar a una medida de oro, en el segundo
podemos nombrar una joya preciosa.
Un rectángulo muy especial es el rectángulo áureo, que es
armonioso en sus dimensiones. Es muy sencillo construirlo. Dibujamos un
cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de
los vértices del lado puesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de
esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. Si el lado del cuadrado
vale 2 unidades el lado mayor del rectángulo vale 1+√5 por lo que la proporción
entre los dos lados es 1 + √5 2
